0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Круговое движение в Физике

Круговое движение

В физике кругово́е движе́ние — это вращение по кругу, т. е. это круговой путь по круговой орбите. Оно может быть равномерным (с постоянной угловой скоростью) или неравномерным (с переменной угловой скоростью). Вращение трёхмерного тела вокруг неподвижной оси включает в себя круговое движение каждой его части. Мы можем говорить о круговом движении объекта только если можем пренебречь его размерами, так что мы имеем движение массивной точки на плоскости. Например, центр масс тела может совершать круговое движение.

Примеры кругового движения: искусственный спутник на геосинхронной орбите, камень на верёвке, вращающийся по кругу (см. метание молота), болид, совершающий поворот, электрон, движущийся перпендикулярно постоянному магнитному полю, зубчатое колесо, вращающееся внутри механизма.

Круговое движение является ускоренным, даже если происходит с постоянной угловой скоростью, потому что вектор скорости объекта постоянно меняет направление. Такое изменение направления скорости вызывает ускорение движущегося объекта центростремительной силой, которая толкает движущийся объект по направлению к центру круговой орбиты. Без этого ускорения объект будет двигаться прямолинейно в соответствии с законами Ньютона.

Содержание

Формулы для равномерного кругового движения

Для движения по кругу радиуса R длина окружности будет C = 2π R. Если период вращения есть T, то угловая скорость вращения ω будет равна:

Скорость движения объекта равна

Угол поворота θ за время t равен:

Ускорение, вызванное изменением направления скорости, можно найти, если заметить, что скорость совершает полное изменение направления за то же самое время T, за которое объект делает один оборот. Тогда вектор скорости проходит путь длиной 2π v каждые T секунд, или:

и направлено радиально к центру.

Взаимосвязи векторов показаны на рис. 1. Ось вращения изображена вектором Ω, перпендикулярно плоскости орбиты и имеет величину ω = dθ / dt. Направление вектора Ω выбрано в соответствии с правилом правой руки. По этому соглашению скорость это векторное произведение вида:

и есть вектор, перпендикулярный как Ω так и r ( t ), направленный по касательной к орбите и имеющий величину ω R. Аналогично, ускорение определяется как:

Оно представляет собой вектор, перпендикулярный как Ω так и v ( t ), имеющий величину ω |v| = ω 2 R и направление строго противоположно к r ( t ).

Постоянная скорость

В простейшем случае скорость, масса и радиус являются постоянными.

Рассмотрим тело массой один килограмм, движущееся по кругу радиуса один метр с угловой скоростью один радиан в секунду.

  • Скорость: один метр в секунду
  • Радиальное ускорение: один метр в секунду за секунду.
  • Ускорение сообщается центростремителной силой один килограмм на метр в секунду за секунду, т. е. один ньютон.
  • Импульс тела: один kg·m·s −1 .
  • Момент инерции: один kg·m 2 .
  • Момент импульса: один kg·m 2 ·s −1 .
  • Кинетическая энергия: 1/2 джоуля.
  • Длина окружностиорбиты: 2π (

6.283) метров.

  • Период движения: 2π секунд на один оборот.
  • Частота: (2π) −1 герц.
  • С точки зрения квантовой механики система находится в возбужденном состоянии с квантовым числом

    Теперь рассмотрим тело массы m, движущееся по кругу радиуса r с угловой скоростью ω.

    • Скорость: v = r·ω.
    • Радиальное ускорение: a = r·ω 2 = r −1 ·v 2 .
    • Центростремительная сила: F = m·a = r·m·ω 2 = r −1 ·m·v 2 .
    • Импульс тела: p = m·v = r·m·ω.
    • Момент инерции: I = r 2 ·m.
    • Момент импульса: L = r·m·v = r 2 ·m·ω = I·ω.
    • Кинетическая энергия: E = 2 −1 ·m·v 2 = 2 −1 ·r 2 ·m·ω 2 = (2·m) −1 ·p 2 = 2 −1 ·I·ω 2 = (2·I) −1 ·L 2 .
    • Длина окружности орбиты: 2·π·r.
    • Период движения: T = 2·π·ω −1 .
    • Частота: f = T −1 . (Вместо буквы f частота часто обозначается греческой буквой ν, которая, однако, часто неотличима от буквы v, используемой здесь для обозначения скорости).
    • Квантовое число: J = 2·π·Lh −1

    Переменная скорость

    В круговом движении полную силу, приложенную к объекту, можно разложить на две составляющие: центростремительную, удерживающую тело на круговой орбите (т. е. меняющую направление вектора скорости), и тангенциальную, направленную по касательной к окружности и вызывающую изменение длины вектора скорости (т. е. меняющую скорость вращения тела по орбите). Величина центростремительной составляющей зависит от мгновенной скорости.

    Для примера, когда камень привязан к концу верёвки, он подвергается воздействию силы, мы можем разложить силу на радиальную и боковую составляющие. Радиальная направлена к центру (вовнутрь) окружности и вызвана тем, что веревка сопротивляется удлинению. А боковая составляющая определяет — будет вращение камня ускоряться или замедляться.

    Описание кругового движения в полярных координатах

    Траектория кругового движения тела может быть описана в полярной системе координат значениями фиксированного расстояние R от центра орбиты, являющейся точкой отсчёта, и угла ориентации θ (t) от некоторого фиксированного направления (рис. 2). Вектор перемещения является радиальным вектором от полюса до текущего положения:

    где — единичный вектор, параллельный радиусу в момент t и направленный от полюса. Удобно также ввести единичный векторортогональный к , который назовём . Обычно его ориентация выбирается по направлению движения вдоль орбиты.

    Скорость является производной перемещения по времени:

    Поскольку радиус окружности является константой, радиальная составляющая скорости равна нулю. Единичный вектор имеет инвариантное по времени значение, так что при изменении времени его конец всегда лежит на окружности единичного радиуса, а угол θ такой же, как у . Если произошло малое приращение угла dθ за время dt, тогда описывает дугу единичной окружности со значением dθ (см. единичную окружность слева на рис. 2). Следовательно:

    где направление изменения должно быть перпендикулярно к (или, другими словами, вдоль ), поскольку любое изменение d в направлении будет изменять величину . Знак положительный, потому что увеличение dθ влияет на объект и передвигается в направлении . Следовательно, скорость становится:

    Ускорение тела также можно разложить на радиальную и тангенциальную составляющие. Ускорение есть производная скорости по времени:

    Производная по времени от находится таким же путём, как и для . Опять же, есть единичный вектор, и его конец расположен на единичной окружности, а угол равен π/2 + θ. Следовательно, приращение угла dθ вектора перемещает по дуге на величину dθ, и поскольку перпендикулярен к , мы имеем:

    где отрицательный знак необходим, чтобы сохранить перпендикулярным к . (Иначе угол между и будет уменьшаться с увеличением dθ, см. единичную окружность слева на рис. 2). Следовательно, ускорение равно:

    Центростремительное ускорение — это радиальная составляющая, направленная по радиусу вовнутрь:

    тогда как тангенциальная составляющая изменяет значение скорости:

    Описание кругового движения в комплексных числах

    Круговое движение можно описать с использованием комплексных чисел. Пусть — ось вещественных чисел, а — ось мнимых чисел. Тогда положение тела может быть задано в виде комплексного «вектора» :

    где есть мнимая единица, и

    есть угол комплексного вектора по отношению к вещественной оси как функция времени t. Поскольку радиус есть константа:

    где точка означает дифференциал по времени. В этих обозначениях скорость имеет вид :

    Первое слагаемое направлено против вектора перемещения, а второе — перпендикулярно ему, как и в предыдущих результатах.

    I. Механика

    Тестирование онлайн

    Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

    Угловая скорость

    Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

    Период и частота

    Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

    Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

    Частота и период взаимосвязаны соотношением

    Связь с угловой скоростью

    Линейная скорость

    Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

    Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

    Центростремительное ускорение

    При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

    Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

    Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

    Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

    Вращение Земли

    Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

    Связь со вторым законом Ньютона

    Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

    Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

    Как вывести формулу центростремительного ускорения

    Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

    Разница векторов есть . Так как , получим

    Движение по циклоиде*

    В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

    Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

    Мгновенная скорость определяется по формуле

    Движение по окружности

    Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

    Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

    Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

    Угловая скорость

    При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

    Определение. Угловая скорость

    Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

    ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

    Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

    Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

    Нормальное ускорение

    При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

    При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

    a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

    Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

    a n = v 2 R = ω 2 R

    Докажем эти соотношения.

    Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

    В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

    По определению ускорения:

    a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

    Взглянем на рисунок:

    Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

    Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

    R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

    При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

    a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

    При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

    Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

    Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

    Тангенциальное ускорение

    В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

    Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

    a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

    Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

    Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

    Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

    Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

    Круговое движение в Физике

    1.6. Движение по окружности

    Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота ), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением

    При малых углах поворота Δ l ≈ Δ s .

    Угловой скоростью ω тела в данной точке круговой траектории называют предел (при Δ t → 0 ) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δ t :

    Угловая скорость измеряется в рад/с .

    Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω :

    При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора

    Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение

    Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за малый промежуток времени Δ t . По определению ускорения

    Векторы скоростей и в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υ A = υ B = υ .

    Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:

    При малых значениях угла Δφ = ωΔ t расстояние | AB | =Δ s ≈ υΔ t . Так как | OA | = R и | CD | = Δυ , из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:

    При малых углах Δφ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δ t → 0 , получим:

    При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

    В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде

    Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная ) составляющая ускорения (см. §1.1):

    В этой формуле Δυτ = υ2 – υ1 – изменение модуля скорости за промежуток времени Δ t .

    Направление вектора полного ускорения определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

    Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υ x и υ y (рис. 1.6.4).

    При равномерном вращении тела величины x , y , υ x , υ y будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом

    Круговое движение

    Задача этого раздела — убедить вас, что круговое движение с постоянной скоростью на самом деле является ускоренным движением под действием силы, направленной к центру круга. Этот результат был ещё одним мало отмеченным вкладом Гюйгенса, однако Ньютон, видимо, получил его независимо некоторое время спустя.

    Начнём аргументацию с обращения к вашей интуиции о том, что для изменения направления движения объекта необходима некая сила, направление которой не совпадает с направлением движения. Следующим шагом следует показать, что именно такая сила появляется, когда объект движется по кругу. Затем мы докажем сходство между круговым движением и более привычными формами ускоренного движения. Наконец, мы получим формулу для такого ускорения.

    Представьте себе большой тяжёлый шар, который медленно катится по ровному полу. Если, находясь сзади него, мы толкаем его по направлению движения, то он ускорится. Аналогично, если мы находимся перед шаром и толкаем его в направлении, противоположном движению, шар замедлится.

    Чтобы изменить направление движения шара, нужен толчок сбоку. Если этот толчок, в итоге, направлен по движению, шар ускорится и, вместе с тем, изменит направление движения. Если же толчок, в целом, произведён из положения перед шаром, он замедлится. Только толчок под прямым углом к направлению движения может изменить направление движения без изменения скорости.

    Теперь привяжем к шару (всё ещё на полу) верёвку, другой конец которой закреплён на полу гвоздём. Шар будет двигаться по кругу. Конечно, в этом случае на шар действует вынуждающая сила: верёвка натянута, а гвоздь прочно вбит в пол. Шар может двигаться только в направлении, перпендикулярном верёвке, находясь на постоянном расстоянии от гвоздя. Верёвка может тянуть шар только в направлении к гвоздю. Если мы не будем учитывать трение и вызванное им замедление шара, то натяжение верёвки, будет оставаться постоянным. Итак, сила, действующая на шар, постоянна по величине, но непрерывно изменяет своё направление, всегда указывая на центр круга.

    Предположим теперь, что мы поместили на полу на большом расстоянии от круга яркий источник света, и наблюдаем тень от шара на противоположной стене, как это показано на рис. 3-1. Тень движется «туда-сюда», как маятник, постоянно замедляясь, меняя направление движения на обратное, и снова ускоряясь.

    Здесь мы применили принцип суперпозиции, чтобы рассмотреть движение шара только в одном направлении, игнорируя его движение в направлении к источнику света и движение от него. Мы получили очевидный пример ускоренного движения. Полное движение шара при этом можно представить суперпозицией двух движений под прямым углом друг к другу.

    Каждый раз, когда шар проходит половину окружности, он изменяет движение на противоположное, совсем так, как если бы он остановился, а потом начал ускоряться в противоположном направлении. Если мы обозначим скорость шара х, то она должна стать — х, когда шар появится на противоположной стороне круга. Изменение скорости будет 2х, совершенно также, как в случае шара, брошенного вертикально вверх, и возвращающегося на землю со скоростью противоположного направления. Чем быстрее движется шар, тем больше изменение скорости и, следовательно, больше ускорение. Чем быстрее движение, тем сильнее натянута верёвка.

    Теперь, когда мы знаем изменение скорости шара, можно найти его среднее ускорение на пути в половину окружности. Чтобы сделать это, мы должны ещё знать, как долго продолжается весь процесс. А это зависит от того, насколько далеко шар уходит от центра своего движения и насколько быстро он движется. Длина окружности радиуса r равна 2рr, и шар проходит половину этого пути. Время необходимое для этого, равно расстоянию, делённому на скорость,

    По определению ускорения мы получаем

    Однако мы должны помнить, что это среднее ускорение и общий результат действия силы, которая за время прохождения пол-оборота тянула шар в разных направлениях. В самом деле, в конце пути сила имеет направление прямо противоположное тому, которое было в начале. Поэтому мгновенное ускорение должно быть, конечно же, больше. Однако строгий расчёт мгновенного ускорения требует некоторых математических понятий, которые мы избегаем в этой книге. Поэтому просто представим результат как

    С точки зрения здравого смысла, значение этой формулы понять не трудно. Наличие r в знаменателе просто означает, что требуется большая сила, чтобы удержать объект на малом круге, чем на большом, потому что он вращается на малом быстрее

    Тридцать миль в час — комфортная скорость при смене полосы на шоссе. Но если вы огибаете угол здания в городе на этой скорости, вы услышите громкий визг покрышек. Они визжат потому, что не любят иметь дело с силой, перпендикулярной их движению. В числителе находится х, и в квадрате, потому что пропорциональность ускорения и скорости нелинейно ухудшает ситуацию:

    • 1) приходится изменять так же бульшую скорость,
    • 2) это изменение должно происходить более быстро. Радиус безопасного поворота на скорости 60 миль/час не в 2, но в 4 раза больше, чем на скорости 30 миль/час.

    В качестве последнего примера применения этой формулы, рассмотрим путь гоночной машины, проходящей поворот, как показано на рис. 3-2.

    Хороший гонщик входит в поворот по внешней полосе, движется к внутренней полосе в середине поворота и заканчивает поворот на его внешней границе. Такой путь имеет максимально возможный радиус кривизны, и это позволяет машине поддерживать максимальную скорость.

    Если вам не нравится думать о круговом движении с постоянной скоростью как об ускоренном, то это может быть связано с тем неудобством, которое создаёт использование слов то из физики, то из обычной речи, где слово ускорение однозначно предполагает, что что-то начинает двигаться быстрее. В физике же это слово означает любое отклонение от инерциального движения. Мы уже видели, как простое изменение знака решает проблему замедления. В этой части книги мы просто двинулись ещё на один шаг дальше от использования слова ускорение в обычном разговорном языке.

    Движение по окружности: формулы и расчеты

    Перемещение тел по окружности достаточно распространено в нашей жизни и в природе. Яркими примерами этого типа перемещения являются вращения ветровых мельниц, планет вокруг своих звезд и колес транспортных средств. В данной статье рассмотрим, какими формулами движение по окружности тел описывается.

    Перемещение по окружности и по прямой линии в физике

    В физике вопросами движения занимается кинематика. Она устанавливает связь между величинами, описывающими этот процесс. В динамике также уделяется внимание движению, однако она ориентирована на описание причин его возникновения. Другими словами, если для кинематики главными физическими величинами являются путь и скорость, то для динамики — это действующие на тела силы.

    Вам будет интересно: Интерес: определение, понятие, типы и функции

    В физике принято выделять два идеальных типа траекторий движения:

    Математический аппарат для описания движения по обоим типам траекторий развит настолько хорошо, что понимание формул, например для прямолинейного движения, автоматически приводит к пониманию выражений для движения по окружности. Единственная принципиальная разница между формулами указанных типов перемещения заключается в том, что для движения по окружности удобно использовать угловые характеристики, а не линейные.

    Далее в статье будем рассматривать исключительно кинематические формулы движения по окружности тел, не вдаваясь в подробности динамики.

    Угловые характеристики движения: угол поворота

    Прежде чем записывать формулы движения по окружности в физике, следует ввести величины, которые будут фигурировать в этих формулах.

    Начнем с угла поворота. Будем обозначать его греческой буквой θ (тета). Поскольку вращение предполагает движение точки вдоль одной и той же окружности, то значение угла поворота θ за определенный промежуток времени можно использовать для определения количества оборотов, которое сделала эта точка. Напомним, что вся окружность равна 2*pi радиан, или 360o. Тогда формула для числа оборотов n через угол θ примет вид:

    Здесь и далее во всех формулах угол выражается в радианах.

    Пользуясь известным углом θ, также можно определить линейное расстояние, которое точка прошла вдоль окружности. Это расстояние будет равно:

    Вам будет интересно: Педагогическая система Макаренко: принципы и компоненты

    Здесь r — радиус рассматриваемой окружности.

    Угловая скорость и ускорение

    Кинематические формулы движения по окружности точки предполагают также использование понятий угловой скорости и углового ускорения. Обозначим первую буквой ω (омега), а вторую буквой α (альфа).

    Физический смысл угловой скорости ω прост: эта величина показывает, на какой угол в радианах поворачивается точка за каждую секунду времени. Данное определение имеет следующее математическое представление:

    Эта формула скорости движения по окружности записана в дифференциальной форме. Полученная с ее помощью величина ω называется мгновенной скоростью. Ее удобно использовать, если движение не является равномерным, то есть происходит с переменной скоростью.

    Угловое ускорение α — это величина, которая описывает быстроту изменения скорости ω, то есть:

    Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду квадратную (рад/с2). Так, 1 рад/с2 означает, что тело увеличивает за каждую секунду времени скорость на 1 рад/с.

    Учитывая выражение для ω, записанное выше, равенство можно представить в такой форме:

    В зависимости от особенностей движения по окружности величина α может быть постоянной, переменной или нулевой.

    Равномерное движение

    Когда на вращающееся тело не действует никакая внешняя сила, то угловая скорость будет оставаться постоянной сколь угодно длительное время. Такое движение получило название равномерного вращения. Оно описывается следующей формулой:

    В этом выражении переменными являются всего две величины: t и θ. Скорость ω = const.

    Следует отметить один важный момент: нулю равна лишь равнодействующая внешних сил на тело, внутренние же силы, действующие в системе, нулю не равны. Так, внутренняя сила заставляет вращающееся тело изменять свою прямолинейную траекторию на криволинейную (окружность). Эта сила приводит к появлению центростремительного ускорения. Последнее не изменяет ни скорость ω, ни линейную скорость v, оно лишь изменяет направление движения.

    Равноускоренное движение по окружности

    Вам будет интересно: Академик Рыбаков Б.А.: биография, археологическая деятельность, книги

    Формулы для этого типа перемещения можно получить непосредственно из приведенных математических выражений для величин ω и α. Равноускоренное движение предполагает, что за более-менее длительный промежуток времени модуль и направление ускорения α не изменяются. Благодаря этому можно проинтегрировать дифференциальное выражение для α и получить следующие две формулы:

    Очевидно, что в первом случае движение будет равноускоренным, во втором — равнозамедленным. Величина ω0 здесь — это некоторая начальная скорость, которой вращающееся тело обладало до появления ускорения.

    Для равноускоренного движения не существует конечной скорости, поскольку она может возрастать сколь угодно долго. Для равнозамедленного движения конечным состоянием будет прекращение вращения, то есть ω = 0.

    Теперь запишем формулы для определения угла θ при движении с постоянным ускорением. Эти формулы получаются, если произвести двойное интегрирование по времени для выражения α через θ. Получаются следующие выражения:

    То есть центральный угол θ, на который тело повернется за время t, будет равен сумме двух слагаемых. Первое слагаемое — это вклад в θ равномерного движения, второе — равноускоренного (равнозамедленного).

    Связь между угловыми и линейными величинами

    При рассмотрении понятия угла поворота θ уже была приведена формула, которая его связывает с линейным расстоянием L. Здесь же рассмотрим аналогичные выражения для скорости ω и ускорения α.

    Линейная скорость v при равномерном движении определяется как расстояние L, пройденное за время t, то есть:

    Подставляя сюда выражение для L через θ, получаем:

    Мы получили связь между линейной и угловой скоростью. Важно отметить, что удобство использования угловой скорости связано с тем, что она не зависит от радиуса окружности. В свою очередь, линейная скорость v возрастает линейно с увеличением r.

    Остается записать связь между линейным ускорением a и его угловым аналогом α. Чтобы это сделать, запишем выражение для скорости v при равноускоренном движении без начальной скорости v0. Получаем:

    Подставляем сюда полученное выражение связи между v и ω:

    Как и скорость, линейное ускорение, направленное по касательной к окружности, зависит от радиуса.

    Ускорение центростремительное

    Выше уже было сказано несколько слов об этой величине. Здесь приведем формулы, которые можно использовать для ее вычисления. Через скорость v выражение для центростремительного ускорения ac имеет вид:

    Через угловую скорость его можно записать так:

    Величина ac не имеет никакого отношения к тангенциальному ускорению a. Центростремительное ускорение обеспечивает поддержание вращающегося тела на одной окружности.

    Задача на определение угловой скорости вращения планеты

    Известно, что ближе всего к солнцу находится Меркурий. Полагая, что он вращается по окружности вокруг светила, мы можем определить его угловую скорость ω.

    Для решения задачи следует обратиться к справочным данным. Из них известно, что планета делает полный оборот вокруг светила за 87 дней 23,23 часа земных. Это время называется периодом обращения. Учитывая, что движение происходит с постоянной угловой скоростью, запишем рабочую формулу:

    Остается перевести время в секунды, подставить значение угла θ, соответствующее полному обороту (2*pi), и записать ответ: ω = 8,26*10-7 рад/c.

    Читать еще:  Ремонт шин и покрышек
  • Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector